微分方程与线性代数

微分方程

微分方程里面有几个在学线性代数的时候有所耳闻的概念，例如特征方程、特征根、齐次线性方程等。

例如，下面就是个二阶齐次线性微分方程：

它的特征方程 ，通过解这个二次方程便得到两个特征根。

然后还有个令人疑惑点就是设 ，不过书上说得对，它的导数与它本身只相差一个常数因子，这样方便进一步思考下去，但我还是感觉不妥当。

大一统

首先，需要建立一个统一的视角：算子（Operator）。

高数第一章讲映射的时候就提到过，映射本身在不同的数学分支有不同的叫法，其中一个叫法就是算子。

矩阵 将 维空间中的向量映射到 维空间中去，并且对加法和数乘运算满足线性，所以它是一个线性映射/线性算子。

记 ，它将函数空间中的某个函数映射到另一个函数空间，并且也对加法和数乘运算满足线性，它也是一个线性映射/线性算子。

• 线性代数研究的是矩阵 ，它作用于向量 （有限维向量空间）

• 微分方程研究的是求导算子 ，它作用于函数 （无限维向量空间）

对应关系

为什么微分方程要“设”解为 ？

在线性代数中，我们在寻找一组特殊的基底（特征向量），矩阵作用在它上面等效于直接乘以常数 。

• 在线性代数里：

• 在微分方程里： 我们在寻找一个函数，求导（算子 ）之后还是它自己。只有一种函数满足“求导后形状不变，只变系数”，那就是指数函数 。

  • 就是微分算子 的 “特征向量”（准确地说叫特征函数）

特征方程的由来

我们求解 。为了有非零解，必须要求行列式 ;

考虑一个微分方程 ，将它写成算子形式就是 如果我们把解限制在“特征函数” 的集合里，算子 就变成了代数变量 。于是算子多项式 就变成了代数多项式 。

杂交

对于二阶线性微分方程 ，引入变量 ，将其改写为矩阵形式：

以上可以优雅地简写为 ，此时可以发现矩阵方程与微分方程的特征方程完全一致：

矩阵 的特征多项式是 。这与原微分方程的特征方程 完全一致！

并且，我们在这里首次揭示了导数算子 实际上可以用矩阵 来表示——求导和矩阵在本质上都是线性映射，它们在代数结构上存在一致。

它们本就一体

最后，来欣赏一下微分方程的通解和线性代数里特征向量的通解结构：

• 线性代数：
• 微分方程：

微分方程就是线性代数在无穷维向量空间下的情况进行考虑的。