从零推导 Schrödinger 方程

发表于 2026-01-01

哇，2026 年的第一篇文章！

最近闲得无聊，又不想学 Unity 游戏制作（本来就不是很想学2333），居然买了本量子力学教材来消遣。虽然后面很难，但还是学到了很多东西，对自然界/微观世界的本质有了进一步的认识，同时也是我追星理论物理学家戈登·弗里曼的一大步（戈登的博士论文和量子力学有关）。

Schrödinger 方程简介

薛定谔（Schrödinger）方程是量子力学的基本方程，它与牛顿第二定律在经典力学体系的地位相当。

这篇文章推导的薛定谔方程是定态的（time-independent），标准的含时薛定谔方程这次暂时不推，仅给出简单解释。

核心思想

能量守恒：总能量 = 动能 + 势能

这个其实就是标准薛定谔方程里哈密顿（Hamiltonian）量的核心。

Recap

波函数

在量子力学里，波函数用于描述一个量子系统的状态。

类比于声波的波幅，量子力学的波函数用记号表示，可以看出它其实就是量子波幅，一个量子系统的状态由量子波幅刻画，强度由模方表示。

测不准原理

其中是约化普朗克常量。

由量子力学的另一位主要缔造者海森堡（Heisenberg）提出。

就是测量误差的意思，这个表达式想告诉我们的是：在任何情况下，我们都无法精确确定一个基本粒子的位置和动量，总会存在 和 测量误差。

所以，测量粒子在某个特定时间的状态是无意义的，我们只能通过描述它们的概率分布来寻求更为普遍的规律。这是量子力学与经典力学的根本区别。

能量守恒

本身是概率波的波幅，而概率波的强度才能真正刻画概率分布，由于必须满足概率密度函数的非负性。直观地说，越大的地方，在那里找到粒子的概率就越大。

接下来，将正式推导薛定谔方程：

一个粒子的总能量等于动能加上势能：

而动能关系是我们非常熟悉的：

根据动量，动能可以写成：

得到能量守恒公式：

推导动量算子

德布罗意（De Broglie）关系告诉我们：粒子的动量与波长成反比：

其中是约化普朗克常量，是空间频率，也即在一米内有几个周期（波长）。

由能量守恒公式知道，我们需要对进行处理，由于量子力学下的动量遵循，它体现了物质粒子的波粒二象性。

先写一个最简单的波

在量子力学中，一个拥有确定动量的自由粒子，其波函数通常用复指数形式表示（这比和处理起来更方便，因为的导数还是它自己）：

将波数替换掉，波函数就变成了含有动量的形式：

尝试提取动量

现在的目标是：寻找一个运算法则（算子），当它作用在上时，结果等于乘以。

先试着写出对的导数公式：

求导得到：

所以：

为了把单独弄出来，于是把等式两边的常数移项：

分子分母同乘：

我们得到了动量算子，它作用在波函数上就是上式的效果。写成表达式就是：

推导对应的算子

算子的平方意味着连续作用两次：

将我们刚才得到的定义代进去：

常数部分：
微分部分：（二阶导数）

于是：

最终，得到动量平方对应的算子：

推导方程

现在，我们将经典能量公式翻译成算子语言，作用在波函数上：

还记方程的核心思想吗？那就是 总能量 = 动能 + 势能 ，我们刚刚又得到了动量算子，把它写成下面的形式：

注意现在整个表达式不是单纯的乘法，在数学上讲是一种变换。

代入刚才推导的动能算符，就得到了定态薛定谔方程：

方程含义

动能项：
- 描述了波函数的曲率（二阶导），当这个二阶导越大的时候（i.e. 波函数弯曲得越厉害的时候），动能越大。
势能项：
- 它是外部环境决定的，比如原子核对电子的吸引力，或者一个电场。它直接乘在上，表示在位置处的势能大小。
总能量：
- 这是一个常数。它告诉我们在这种波函数形态下，系统的总能量是多少。

假设一个电子被束缚在一个很小的盒子里，波函数必须弯得非常急才能使空间上的误差边界归零，这就导致动能极高：这解释了为什么原子核外的电子不会塌进原子核，因为如果不确定位置太小，动能就会大到把它弹开。

刚才的方程是不含时的，如果想知道波函数随时间怎么演化，我们需要对时间求导，所以薛定谔方程的完整形态是：

其中就是文章开头谈到的哈密顿量，它其实就是我们推导出来的动量算子和势能向相加：

既然薛定谔方程是个方程，那么就肯定要在实际情况下求解它。求解薛定谔方程其实就是在问：什么样的概率波形状，能让它的弯曲程度（动能）加上所在位置的势能，在各处加起来都等于同一个常数？

凡是满足这个条件的波，就是电子可能存在的状态，比如原子里的轨道、轨道（死去的结构化学还在攻击我）