微分方程
微分方程里面有几个在学线性代数的时候有所耳闻的概念，例如特征方程、特征根、齐次线性方程等。
例如，下面就是个二阶齐次线性微分方程：
它的特征方程 $\lambda ^ 2 - 3 \lambda + 2 = 0$ ，通过解这个二次方程便得到两个特征根。
然后还有个令人疑惑点就是设 $\mathrm{e}^{\lambda x}$ ，不过书上说得对，它的导数与它本身只相差一个常数因子，这样方便进一步思考下去，但我还是感觉不妥当。
大一统
首先，需要建立一个统一的视角：算子（Operator）。
高数第一章讲映射的时候就提到过，映射本身在不同的数学分支有不同的叫法，其中一个叫法就是算子。
$m \times n$ 矩阵 $A$ 将 $n$ 维空间中的向量映射到 $m$ 维空间中去，并且对加法和数乘运算满足线性，所以它是一个线性映射/线性算子。
记 $D = \frac{d}{dt}$ ，它将函数空间中的某个函数映射到另一个函数空间，并且也对加法和数乘运算满足线性，它也是一个线性映射/线性算子。
线性代数研究的是矩阵 $A$，它作用于向量 $\mathbf{x}$（有限维向量空间）
微分方程研究的是求导算子 $D = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ ，它作用于函数 $y(t)$（无限维向量空间）
对应关系
为什么微分方程要“设”解为 $\mathrm{e}^{rt}$？
在线性代数中，我们在寻找一组特殊的基底（特征向量），矩阵作用在它上面等效于直接乘以常数 $\lambda$ 。
在线性代数里： $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
在微分方程里： 我们在寻找一个函数，求导（算子 $D$）之后还是它自己。只有一种函数满足“求导后形状不变，只变系数”，那就是指数函数 $\mathrm{e}^{rt}$。
$D \mathrm{e}^{rt} = r \mathrm{e}^{rt}$
$D^2 \mathrm{e}^{rt} = r^2 \mathrm{e}^{rt}$
$\mathrm{e}^{rt}$ 就是微分算子 $D$ 的 “特征向量”（准确地说叫特征函数）
特征方程的由来
我们求解 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$。为了有非零解，必须要求行列式 $|A - \lambda I| = 0$ ;
考虑一个微分方程 $y'' + ay' + by = 0$ ，将它写成算子形式就是 $(D^2 + aD + b)y = 0$ 如果我们把解限制在“特征函数” $e^{rt}$ 的集合里，算子 $D$ 就变成了代数变量 $r$ 。于是算子多项式 $P(D)$ 就变成了代数多项式 $P(r) = r^2 + ar + b = 0$。
杂交
对于二阶线性微分方程 $y'' - 3y' + 2y = 0$，引入变量 $x_1 = y, x_2 = y'$，将其改写为矩阵形式：
以上可以优雅地简写为 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ ，此时可以发现矩阵方程与微分方程的特征方程完全一致：
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ 的特征多项式是 $|A - \lambda I| = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$。这与原微分方程的特征方程 $P(r) = r^2 - 3r + 2 = 0$ 完全一致！
并且，我们在这里首次揭示了导数算子 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ 实际上可以用矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ 来表示——求导和矩阵在本质上都是线性映射，它们在代数结构上存在一致。
它们本就一体
最后，来欣赏一下微分方程的通解和线性代数里特征向量的通解结构：
- 线性代数：$c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \dots$
- 微分方程：$C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}+ \dots$
微分方程就是线性代数在无穷维向量空间下的情况进行考虑的。