前言

优秀的作品集会令人身心愉悦，例如这种：

技术美术（Technical Artist）始终是个 Artist 才对。我觉得，只会展示廉价炫技作品的人，他的审美一定是不在线的。

而我最近发现，很多带有 "xx届" 前缀的作品就是很没 taste 的那种。

（整篇文章说的都是渲染相关的部分，其它方向的不了解就不评了233）

当然也不乏一些的确优秀的作品，但是太少了啊。

主要是哔哩哔哩经常给我推这种视频，有时三次刷主页就给我推三条不同的这种，就很烦啊。。。所以我现在基本上只看关注列表。
不过我还是挺感激算法能给我推第一张图片里的那个视频，是真的在粪坑里找到黄金了。

大环境

如果你以为我要开始扯宏大叙事，说这种成规模的低质作品出现是因为游戏行业异化云云，那你就错了——因为这些都已经是 cliche，已经是不容争辩的事实。

我想从一个实际的角度出发，那就是如今 AI Agent 时代的背景下，仅仅是展示一个技术实现已经变得很 cheap 了，除非是 John Carmack 级别的技术实现。

如果说在以前，这些没有品味的作品集还有它的价值——即展示一个技术美术具有高超的复刻能力，那么在如今，这种价值正在逐渐被 LLM 吞噬。

实时渲染技术在过去三十年已经有了长足积累，技术美术能在技术层面上做的事无非就是复刻，而这件事 LLM 可以为他们做好——什么？担心那是完全看不懂的 AI Slop？现在 LLM 都能帮你自动分析截帧数据了，让它讲解两个效果实现有那么困难吗？如果已经到了这份上还是不肯承认你的作品没有价值这一现实，那么你就是纯纯蠢蛋了。事实上，最大的难度在于在整个 systematic 的项目里做 trade-off，而不是零零碎碎地实现一些特效。

所以，我觉得如今的 TA 应在于广义的 Art 而不是 Tech。这里的 art 是多重的，不仅是传统意义上的视觉美术，还包含着对各种领域的结构性审美和品味。

现实

如果有人刚刚被那些文字激怒了，我首先在这里表示抱歉。

不过，看到这里，如果有人对自己此前在病态的环境里所了解到的所谓“成长路径”或是“前途”产生怀疑，并且尝试去找自己真正觉得有意思的事情（也包括技术美术）做，或者积极地脱离充满焦虑的“圈子”，甚至是重新审视 价值 这一观念，那么这篇文章就发挥了它应有的价值。

纹理参数空间和世界空间

在游戏里面求任意几何表面点的法向量，实际上就是对一个被嵌进三维欧几里得空间 的二维流形（它的坐标对应的就是纹理参数空间下的 ）分别对 求偏导数。

求偏导数实际上就构造了一个切空间（Tangent Space）。简易起见，直接设参数空间 ，则给定一个有序数对 可返回一个世界空间坐标（点 ），即： 。

分别对 求偏导：

再次注意偏导数是一个向量，因为我们实际上是在对一个向量场 求偏导。得到偏导数之后，实际上我们就得到了分别沿着 和 的切向量，只需要把偏导数叉乘就可以得到垂直于它们的向量：

进一步：

我们就得到了点 处的法向量，其归一化形式是 。

“这件事本质上是...”，如果你经常和一些人讨论，当出现观点的分歧时，对方大概率会抛出这一句，他意图通过他认为的“本质”来（并以自己为胜者）结束话题。

对大多数人而言，“本质上”几乎是无意识地言说出来的。拉康说 "L'inconscient est le discours de l'Autre"（无意识是大他者的话语）。

因为我们从小就被教育所谓真理的神圣性，而本质与表象的二元对立又使得很多人如魔怔了一般去追求本质，用异轨自阿尔都塞的话讲，就是主体被大他者询唤，而这个大他者正是知识-权力的象征秩序。有一部分人虽然没那么魔怔，但是内心仍然持存着一份对知识的崇高敬畏，这些人就会实实在在地被那些掌握了知识的人用“本质上...”这种话语来欺负，并有可能留下精神创伤。

不要那么敬畏知识。对真理/知识的过于敬畏只会导致你：

• 被“本质”话语的暴力所规训
• 与知识本身天然产生一层隔阂
• 敬畏权力

加粗是米歇尔·福柯指使的。

这学期学了什么

课程

这学期学校开了两门专业相关的课，一门是《计算机科学与工程导论》、一门是《C 语言程序设计》，然而只学它们会导致大脑被污染。学校学的东西落后无用（或者是晦涩难懂）=>自学已经是显而易见的规律。

《C 语言程序设计》似乎在之前的某篇文章里辣评了一下，这里不说了。但不得不承认的是，这门课发挥了它应有的价值：虽然学校自己的教授方法落后，作业考试大部分只是 intellectual masturbation，用的 IDE 是 Dev C++ 这种。为了让自己写得舒服点，我迫使自己掌握了 VS Code / VS + Git 的工作流，并且顺便熟悉了 Linux 操作系统等等。

所以，如果没有这么一套课程，我没有那么强烈的动力去做这些事情——这些事情其实就是 MIT 那套大名鼎鼎的 The Missing Semester of Your CS Education 课程会讲授的内容，但是我一直都没机会（或者说不敢/不想）上手做一遍。

《计算机科学与工程导论》这课上得也奇葩，老师就干讲 PPT，从数据结构讲到体系结构，整个学期就 2 次不痛不痒的作业。不过令人欣慰的是，有一次作业引导我们去思考递归算法和迭代算法对系统性能的影响，而不是完全聚焦于一些 intellectual masturbation 的功能实现，说明这门课其实并非一无是处。

LBD principle

Learn By Doing，这个谁都会讲，但是得自己做了才真的领略到。我不禁开始咒骂高中时期的自己，为什么那时就死活领会不到这个原则。不过也好，至少现在领会到了。

但是由于这个原则，我在相当长一段时间内又掉进了一个坑——就是看到什么都感觉想做一遍，并且经常 PUA 自己头脑里装的理论知识没有价值，觉得自己什么都不会做不如死了算了，搞得自己身心俱疲，并且学到的内容也很肤浅。知道自己想要什么再去做可能才是根本，我正尝试慢慢地接受这个事实。

重新学习

早在高中的时候就听说过 Lambda Calculus 的大名，但苦于认为自己没有一点系统的程序设计基础，于是对这些基础计算机科学敬而远之，后来才发现它们跟逻辑学、分析哲学其实是差不多的东西。

最近刷 QQ 空间看到有位朋友在一直推一些 Lambda 演算的科普视频，抱着好奇的心态点进去看，不到几分钟就立刻觉得自己以前学的完全不叫“计算机科学”（虽然这么说肯定是错的），于是想要好好了解一番这些东西。

所以自己又顺藤摸瓜找到了一些关于函数式编程的教程，不久前刚在 JavaScript 解释器上使用纯函数实现了单向链表的数据结构，第一次体验到以函数为 building block 的程序设计的灵韵——同时对计算的本质有了更加深入了理解；以及第一次知道程序还能这么学——就从单纯和解释器打交道开始，然后就直接是函数、抽象、递归······并且不受语言特性的打扰。最近书架上添置一本大名鼎鼎的程序设计教材，就是 SICP。希望以后能腾出足够的空闲时间好好领略。

不过这一定不是全部，好奇和求知的路没有尽头。

哇，2026 年的第一篇文章！

最近闲得无聊，又不想学 Unity 游戏制作（本来就不是很想学2333），居然买了本量子力学教材来消遣。虽然后面很难，但还是学到了很多东西，对自然界/微观世界的本质有了进一步的认识，同时也是我追星理论物理学家戈登·弗里曼的一大步（戈登的博士论文和量子力学有关）。

Schrödinger 方程简介

薛定谔（Schrödinger）方程是量子力学的基本方程，它与牛顿第二定律 在经典力学体系的地位相当。

这篇文章推导的薛定谔方程是定态的（time-independent），标准的含时薛定谔方程这次暂时不推，仅给出简单解释。

核心思想

能量守恒：总能量 = 动能 + 势能

这个其实就是标准薛定谔方程里哈密顿（Hamiltonian）量的核心。

Recap

波函数

在量子力学里，波函数用于描述一个量子系统的状态。

类比于声波的波幅，量子力学的波函数用记号 表示，可以看出它其实就是量子波幅，一个量子系统的状态由量子波幅刻画，强度由模方 表示。

测不准原理

其中 是约化普朗克常量。

由量子力学的另一位主要缔造者海森堡（Heisenberg）提出。

就是测量误差的意思，这个表达式想告诉我们的是：在任何情况下，我们都无法精确确定一个基本粒子的位置 和动量 ，总会存在 和 测量误差。

所以，测量粒子在某个特定时间的状态是无意义的，我们只能通过描述它们的概率分布来寻求更为普遍的规律。这是量子力学与经典力学的根本区别。

能量守恒

本身是概率波的波幅，而概率波的强度 才能真正刻画概率分布，由于必须满足概率密度函数的非负性。直观地说， 越大的地方，在那里找到粒子的概率就越大。

接下来，将正式推导薛定谔方程：

一个粒子的总能量 等于动能 加上势能 ：

而动能关系是我们非常熟悉的：

根据动量 ，动能可以写成：

得到能量守恒公式：

推导动量算子

德布罗意（De Broglie）关系告诉我们：粒子的动量 与波长 成反比：

其中 是约化普朗克常量， 是空间频率，也即在一米内有几个周期（波长）。

由能量守恒公式 知道，我们需要对 进行处理，由于量子力学下的动量遵循 ，它体现了物质粒子的波粒二象性。

先写一个最简单的波

在量子力学中，一个拥有确定动量 的自由粒子，其波函数通常用复指数形式表示（这比 和 处理起来更方便，因为 的导数还是它自己）：

将波数 替换掉，波函数就变成了含有动量 的形式：

尝试提取动量

现在的目标是：寻找一个运算法则（算子），当它作用在 上时，结果等于 乘以 。

先试着写出对 的导数公式：

求导得到：

所以：

为了把 单独弄出来，于是把等式两边的常数移项：

分子分母同乘 ：

我们得到了动量算子 ，它作用在波函数上就是上式的效果。写成表达式就是：

推导 对应的算子

算子的平方 意味着连续作用两次：

将我们刚才得到的定义代进去：

• 常数部分：
• 微分部分：（二阶导数）

于是：

最终，得到动量平方对应的算子：

推导方程

现在，我们将经典能量公式翻译成算子语言，作用在波函数 上：

还记方程的核心思想吗？那就是 总能量 = 动能 + 势能 ，我们刚刚又得到了动量算子，把它写成下面的形式：

注意现在整个表达式不是单纯的乘法，在数学上讲是一种变换。

代入刚才推导的动能算符，就得到了定态薛定谔方程：

方程含义

• 动能项：

  • 描述了波函数的曲率（二阶导），当这个二阶导越大的时候（i.e. 波函数弯曲得越厉害的时候），动能越大。

• 势能项：

  • 它是外部环境决定的，比如原子核对电子的吸引力，或者一个电场。它直接乘在 上，表示在位置 处的势能大小。

• 总能量：

  • 这是一个常数。它告诉我们在这种波函数形态下，系统的总能量是多少。

假设一个电子被束缚在一个很小的盒子里，波函数必须弯得非常急才能使空间上的误差边界归零，这就导致动能极高：这解释了为什么原子核外的电子不会塌进原子核，因为如果不确定位置太小，动能就会大到把它弹开。

刚才的方程是不含时的，如果想知道波函数随时间 怎么演化，我们需要对时间求导，所以薛定谔方程的完整形态是：

其中 就是文章开头谈到的哈密顿量，它其实就是我们推导出来的动量算子和势能向相加：

既然薛定谔方程是个方程，那么就肯定要在实际情况下求解它。求解薛定谔方程其实就是在问：什么样的概率波形状 ，能让它的弯曲程度（动能）加上所在位置的势能，在各处加起来都等于同一个常数 ？

凡是满足这个条件的波，就是电子可能存在的状态，比如原子里的 轨道、 轨道（死去的结构化学还在攻击我）

微分方程

微分方程里面有几个在学线性代数的时候有所耳闻的概念，例如特征方程、特征根、齐次线性方程等。

例如，下面就是个二阶齐次线性微分方程：

它的特征方程 ，通过解这个二次方程便得到两个特征根。

然后还有个令人疑惑点就是设 ，不过书上说得对，它的导数与它本身只相差一个常数因子，这样方便进一步思考下去，但我还是感觉不妥当。

大一统

首先，需要建立一个统一的视角：算子（Operator）。

高数第一章讲映射的时候就提到过，映射本身在不同的数学分支有不同的叫法，其中一个叫法就是算子。

矩阵 将 维空间中的向量映射到 维空间中去，并且对加法和数乘运算满足线性，所以它是一个线性映射/线性算子。

记 ，它将函数空间中的某个函数映射到另一个函数空间，并且也对加法和数乘运算满足线性，它也是一个线性映射/线性算子。

• 线性代数研究的是矩阵 ，它作用于向量 （有限维向量空间）

• 微分方程研究的是求导算子 ，它作用于函数 （无限维向量空间）

对应关系

为什么微分方程要“设”解为 ？

在线性代数中，我们在寻找一组特殊的基底（特征向量），矩阵作用在它上面等效于直接乘以常数 。

• 在线性代数里：

• 在微分方程里： 我们在寻找一个函数，求导（算子 ）之后还是它自己。只有一种函数满足“求导后形状不变，只变系数”，那就是指数函数 。

  • 就是微分算子 的 “特征向量”（准确地说叫特征函数）

特征方程的由来

我们求解 。为了有非零解，必须要求行列式 ;

考虑一个微分方程 ，将它写成算子形式就是 如果我们把解限制在“特征函数” 的集合里，算子 就变成了代数变量 。于是算子多项式 就变成了代数多项式 。

杂交

对于二阶线性微分方程 ，引入变量 ，将其改写为矩阵形式：

以上可以优雅地简写为 ，此时可以发现矩阵方程与微分方程的特征方程完全一致：

矩阵 的特征多项式是 。这与原微分方程的特征方程 完全一致！

并且，我们在这里首次揭示了导数算子 实际上可以用矩阵 来表示——求导和矩阵在本质上都是线性映射，它们在代数结构上存在一致。

它们本就一体

最后，来欣赏一下微分方程的通解和线性代数里特征向量的通解结构：

• 线性代数：
• 微分方程：

微分方程就是线性代数在无穷维向量空间下的情况进行考虑的。

骂人

《C 语言程序设计》已经接近尾声了，但感觉自己除了一些语法和标准库之外什么都没学到。

教材是学校自己编的，编的简直是一坨翔，某一页指针的示意图搞忘把实际的值换成地址都算轻的，讲二维数组甚至出现了“三行四列的行列式”这种已经被当成梗了的错误。

其它的部分更难评。感觉从教材到课程，教授们根本就没打算让我们学好这门课。

其次，学校买的 OJ 简直是我用过最不舒服的东西，包括里面的某些题，只觉 mind-bending 却用处不大，我整个学期都没花什么精力在那上面。

考试

写这篇文章发牢骚当然也是因为考试。我并不擅长做题，考试基本上只能做出大部分。不过我确实得认，因为没刷过题，平时作业完全随性做，老师布置的一个 82 道题的习题集我只做了 1 道。

我之前因为发牢骚还被同届的某“大神”攻击过，好像以后做什么事都跟这些考试题关系很大一样。虽然我确实会被这种聪明的智障气到，但我也理解这些“大神”：他们花了大量时间精力在刷题，就为了得个好看的名次并意淫自己的能力压别人一头。我认为这是 incompetent 的表现。

诈骗

今天讲动态内存管理，你猜讲了多久？只讲了十分钟不到！从引入 stack, heap 概念到讲完书上包含 malloc() 例子的实现，全程只花了几分钟！虽然我觉得很无聊，但是对于以前从来没接触过这些概念的同学，他们真的理解了吗？即使记得了几个名词，知道了语法该怎么写，但是究竟发生了什么谁知道呢？先暂且不谈现代操作系统上指针存的是 virtual address 还是 physical address 的问题，就说大家在提交作业的时候有时也会遇到的“段错误”（Seg fault）是什么意思，课上也不教。

书的序言还好意思着重强调 C 语言对计算机底层和内存管理的优势，这下倒好，这俩在你们的课程里都跟完全没存在感的 NPC 一样。完全就是诈骗。

认真你就输了

你反驳我就是你对。有人急了跟我说这些都是在打基础，我当然承认学校的作业和考试会训练敲码的肌肉记忆。那就当我在扯淡吧。

6502 是什么

6502 由 MOS Technology 于 1975 年发布的一款 8 位微处理器，流行于上世纪七八十年代的大部分家用 PC。

苹果 I/II, Commodore 64, 任天堂 NES/FC 游戏主机（后来的 SNES/SFC 主机也只是 6502 的 16 位扩展）等现象级家用机平台都基于 6502 体系结构。

项目

easy6502 有助于快速上手 6502 体系结构的汇编语言，链接为 https://github.com/skilldrick/easy6502 。

TODO：汉化

递推公式

Fibonacci 数列的递推公式为：

其中

矩阵表示

上式可以用矩阵表示：

求解方法

令

通过寻找与矩阵 相似的对角矩阵 ，可以利用 来得到

通项

特征多项式 ，令 解得特征值

对应的特征向量分别为 ，得到过渡矩阵及其逆矩阵：

对角矩阵：

由相似变换 得到

所以：

所以 Fibonacci 数列的通项公式为：

测量 CPU 时间

上篇文章写了个简单的蒙特卡洛估计器，用于估计 的值，但是那个非常慢，可以通过 System.Diagnostics 提供的 Stopwatch() 方法算一下时间。

var watch = new Stopwatch();

stopwatch.Start();

for (ulong i = 0; i < N; i++)
{
    x = rnd.NextDouble();
    y = rnd.NextDouble();
    if (x * x + y * y <= 1)
    {
        circleCount++;
    }
}
double PI = 4 * (double)circleCount / N;

watch.Stop();

Console.WriteLine("Pi = {0}, time = {1}ms", PI, watch.ElapsedMilliseconds);

设置采样数为 5000000000，得到 Pi = 3.1415527664, time = 37026ms。为了计算这个稳定于 3.1415 以上的结果，花费了 37 秒。

多线程

现代 CPU 具有多个物理核心，可以把它们利用起来。用 ThreadLocal<Random>() 为各个线程单独生成随机数。

using System.Threading;
using System.Threading.Tasks;

void ParallelEst()
{
    // 全局计数器
    long totalCircleCount = 0;

    var watch = new Stopwatch();
    ThreadLocal<Random> threadRnd = new ThreadLocal<Random>(() => new Random(Guid.NewGuid().GetHashCode()));    //各线程通过唯一 GUID 生成哈希值，防止随机样本序列重复

    watch.Start();

    // 循环并行化
    Parallel.For(
        0,
        (long)N,
        () => 0UL,
        (i, loopState, localCount) =>   // i: 当前迭代，localCount: 当前线程的局部计数器
        {
            Random rnd = threadRnd.Value;
            double x = rnd.NextDouble();
            double y = rnd.NextDouble();
    
            if (x * x + y * y <= 1)
            {
                localCount++;
            }
            return localCount; 
        },
        localCount =>  // 累积局部计数器到全局计数器
        {
            Interlocked.Add(ref totalCircleCount, (long)localCount);
        }
    );

    threadRnd.Dispose();

    double PI = 4 * (double)totalCircleCount / N;

    watch.Stop();

    Console.WriteLine("Pi = {0}, time = {1}ms", PI, watch.ElapsedMilliseconds);
}

以下是运行时间：

多线程的确占用起来了：

踩坑

之前是这么写的，结果并行化反而慢了 10 倍：

void ParallelEst()
{
    ulong circleCount = 0;
    
    var watch = new Stopwatch();
    
    ThreadLocal<Random> threadRnd = new ThreadLocal<Random>(() => new Random(Guid.NewGuid().GetHashCode()));
    
    watch.Start();
    
    Parallel.For(0, (long)N, i =>
    {
        Random rnd = threadRnd.Value;
        double x = rnd.NextDouble();
        double y = rnd.NextDouble();

        if (x * x + y * y <= 1)
        {
            Interlocked.Increment(ref circleCount); // 锁在线程循环里面
        }
    });
    
    threadRnd.Dispose();
    
    double PI = 4 * (double)circleCount / N;
    
    watch.Stop();
    
    Console.WriteLine("Pi = {0}, time = {1}ms", PI, watch.ElapsedMilliseconds);
}

原因是每个线程每次累计一次 circleCount 都要调用一次 Interlocked 方法，导致线程之间产生锁竞争，大幅降低并发性能。

修复方案就是给单个线程分配一个局部的计数器 localCount，等各线程累计结束之后再调用原子操作。